Chào mừng các bạn học sinh thân mến đến với bài viết chuyên sâu về hình học không gian, một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT và các kỳ thi quan trọng sắp tới. Việc nắm vững các công thức tính góc trong không gian là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác nhiều dạng bài tập. Để giúp các bạn củng cố và kiểm tra kiến thức của mình, chúng tôi đã tổng hợp và biên soạn “15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Giải Chi Tiết“. Bài viết này không chỉ cung cấp các câu hỏi bám sát kiến thức sách giáo khoa mà còn đi sâu vào giải thích chi tiết từng đáp án, giúp bạn hiểu rõ bản chất công thức và tránh những sai lầm thường gặp. Hãy cùng bắt đầu nhé!
Mục lục
Tầm Quan Trọng Của Việc Nắm Vững Công Thức Tính Góc Trong Không Gian
Hình học không gian là một trong những chuyên đề đòi hỏi sự tư duy hình ảnh và khả năng áp dụng công thức linh hoạt. Đặc biệt, các bài toán liên quan đến góc trong không gian luôn xuất hiện trong các đề thi, từ kiểm tra trên lớp đến kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Việc thành thạo các công thức tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như góc giữa hai mặt phẳng không chỉ giúp bạn giải quyết bài tập một cách hiệu quả mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học cấp cao hơn. Bộ 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Giải Chi Tiết này được thiết kế để giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng nhận diện, áp dụng công thức chính xác.
Tổng Hợp Các Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Cơ Bản
Góc giữa hai vectơ
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ <tex>\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)</tex> và <tex>\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)</tex> khác vectơ không. Góc <tex>\alpha</tex> giữa hai vectơ này được xác định bởi công thức:
<tex>cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}</tex>, với <tex>0^\circ \le \alpha \le 180^\circ</tex>. Lưu ý rằng góc giữa hai vectơ có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 180 độ.
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng d_1</tex> (có VTCP <tex>\vec{u}</tex>) và d_2</tex> (có VTCP <tex>\vec{v}</tex>) là góc <tex>\varphi</tex> không tù, tức <tex>0^\circ \le \varphi \le 90^\circ</tex>. Công thức tính góc này là:
<tex>cos(\varphi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}</tex>. Đây là công thức tính góc giữa hai đường thẳng dựa vào tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng. Giá trị tuyệt đối đảm bảo góc <tex>\varphi</tex> luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d</tex> (có VTCP <tex>\vec{u}</tex>) và mặt phẳng <tex>(P)</tex> (có VTPT <tex>\vec{n}</tex>). Gọi <tex>\psi</tex> là góc giữa đường thẳng d</tex> và mặt phẳng <tex>(P)</tex>. Góc <tex>\psi</tex> này nằm trong khoảng <tex>0^\circ \le \psi \le 90^\circ</tex>. Công thức tính góc này là:
<tex>sin(\psi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|u_1n_1 + u_2n_2 + u_3n_3|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}</tex>. Chú ý rằng công thức này dùng sin chứ không phải cos, và sử dụng tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng, góc bằng 0 độ. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc bằng 90 độ.
Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng <tex>(P_1)</tex> (có VTPT <tex>\vec{n_1}</tex>) và <tex>(P_2)</tex> (có VTPT <tex>\vec{n_2}</tex>). Góc <tex>\theta</tex> giữa hai mặt phẳng là góc không tù, tức <tex>0^\circ \le \theta \le 90^\circ</tex>. Công thức tính góc này là:
<tex>cos(\theta) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|n_{11}n_{21} + n_{12}n_{22} + n_{13}n_{23}|}{\sqrt{n_{11}^2 + n_{12}^2 + n_{13}^2} \cdot \sqrt{n_{21}^2 + n_{22}^2 + n_{23}^2}}</tex>. Công thức này tương tự như góc giữa hai đường thẳng, sử dụng tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến và có giá trị tuyệt đối để đảm bảo góc trong khoảng từ 0 đến 90 độ. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, góc bằng 0 độ. Nếu hai mặt phẳng vuông góc, góc bằng 90 độ.
15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Giải Chi Tiết
Dưới đây là 15 câu hỏi dạng Đúng/Sai giúp bạn kiểm tra và củng cố kiến thức về các công thức tính góc trong không gian. Mỗi câu hỏi đều có giải thích chi tiết.
Câu 1:
Phát biểu: Góc giữa hai vectơ <tex>\vec{u}</tex> và <tex>\vec{v}</tex> bất kỳ trong không gian luôn nằm trong khoảng <tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Góc giữa hai vectơ được định nghĩa là góc <tex>\alpha</tex> với <tex>0^\circ \le \alpha \le 180^\circ</tex>. Chỉ khi tính góc giữa hai đường thẳng hoặc góc giữa hai mặt phẳng, hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, người ta mới lấy góc không tù, tức trong khoảng <tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>.
Câu 2:
Phát biểu: Cosin của góc giữa hai đường thẳng d_1</tex> (VTCP <tex>\vec{u}</tex>) và d_2</tex> (VTCP <tex>\vec{v}</tex>) được tính bằng công thức <tex>cos(\varphi) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}</tex>.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Công thức đúng phải là <tex>cos(\varphi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}</tex>. Cần có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số để đảm bảo góc <tex>\varphi</tex> giữa hai đường thẳng là góc không tù, tức <tex>0^\circ \le \varphi \le 90^\circ</tex>, do đó cosin của góc này phải không âm.
Câu 3:
Phát biểu: Sin của góc giữa đường thẳng d</tex> (VTCP <tex>\vec{u}</tex>) và mặt phẳng <tex>(P)</tex> (VTPT <tex>\vec{n}</tex>) được tính bằng công thức <tex>sin(\psi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Đây chính xác là công thức tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc này được định nghĩa là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, và nó nằm trong khoảng <tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>.
Câu 4:
Phát biểu: Nếu đường thẳng d</tex> song song với mặt phẳng <tex>(P)</tex> thì góc giữa chúng bằng <tex>90^\circ</tex>.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Nếu đường thẳng d</tex> song song hoặc nằm trong mặt phẳng <tex>(P)</tex> thì góc giữa chúng bằng <tex>0^\circ</tex>. Góc bằng <tex>90^\circ</tex> khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Câu 5:
Phát biểu: Cosin của góc giữa hai mặt phẳng <tex>(P_1)</tex> (VTPT <tex>\vec{n_1}</tex>) và <tex>(P_2)</tex> (VTPT <tex>\vec{n_2}</tex>) được tính bằng công thức <tex>cos(\theta) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Đây là công thức chính xác để tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng tích vô hướng có trị tuyệt đối của hai vectơ pháp tuyến. Góc này nằm trong khoảng <tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>.
Câu 6:
Phát biểu: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia. Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến này bằng 0.
Câu 7:
Phát biểu: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng (sau khi đã lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc không tù).
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng chéo nhau đó. Việc sử dụng vectơ chỉ phương và lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng là cách tính góc không tù giữa hai đường thẳng bất kỳ, bao gồm cả trường hợp chéo nhau.
Câu 8:
Phát biểu: Để tính góc giữa đường thẳng d</tex> và mặt phẳng <tex>(P)</tex>, ta có thể sử dụng công thức <tex>cos(\psi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}</tex>, trong đó <tex>\vec{u}</tex> là VTCP của d</tex> và <tex>\vec{n}</tex> là VTPT của <tex>(P)</tex>.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Công thức đúng phải là <tex>sin(\psi) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}</tex>. Công thức với cosin này thực chất tính cosin của góc giữa vectơ chỉ phương <tex>\vec{u}</tex> và vectơ pháp tuyến <tex>\vec{n}</tex>, mà góc này lại phụ với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (tổng của chúng là <tex>90^\circ</tex> khi đường thẳng không song song hoặc vuông góc với mặt phẳng).
Câu 9:
Phát biểu: Nếu hai mặt phẳng song song thì góc giữa chúng bằng <tex>0^\circ</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau là <tex>0^\circ</tex>.
Câu 10:
Phát biểu: Vectơ chỉ phương của trục Oz là <tex>\vec{k} = (0; 0; 1)</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Trục Oz là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và có phương song song với vectơ <tex>\vec{k} = (0; 0; 1)</tex>. Do đó, <tex>\vec{k}</tex> là một vectơ chỉ phương của trục Oz.
Câu 11:
Phát biểu: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tọa độ Oxy là <tex>\vec{n} = (0; 0; 1)</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là <tex>z = 0</tex>. Phương trình tổng quát của mặt phẳng là <tex>Ax + By + Cz + D = 0</tex>, trong đó <tex>\vec{n} = (A; B; C)</tex> là vectơ pháp tuyến. Với <tex>z = 0</tex> (hay <tex>0x + 0y + 1z + 0 = 0</tex>), ta có A=0, B=0, C=1, D=0. Vậy một vectơ pháp tuyến là <tex>\vec{n} = (0; 0; 1)</tex>.
Câu 12:
Phát biểu: Góc giữa hai đường thẳng chỉ có thể là <tex>0^\circ</tex>, <tex>30^\circ</tex>, <tex>45^\circ</tex>, <tex>60^\circ</tex>, hoặc <tex>90^\circ</tex>.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Góc giữa hai đường thẳng có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng <tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>, không chỉ giới hạn ở các giá trị đặc biệt. Các giá trị đặc biệt thường xuất hiện trong các bài toán cụ thể, nhưng về mặt lý thuyết, góc có thể là bất kỳ.
Câu 13:
Phát biểu: Nếu đường thẳng d</tex> vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng <tex>(P)</tex> và cắt d</tex> thì d</tex> vuông góc với <tex>(P)</tex>.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Đây là định lý cơ bản chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Điều kiện hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong mặt phẳng và cắt đường thẳng d</tex> (hoặc cắt nhau) là cần thiết để xác định phương của mặt phẳng.
Câu 14:
Phát biểu: Góc giữa hai mặt phẳng (P_1)</tex> và (P_2)</tex> bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến <tex>\vec{n_1}</tex> và <tex>\vec{n_2}</tex> của chúng.
Đáp án: Sai
Giải chi tiết: Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù (<tex>[0^\circ; 90^\circ]</tex>), trong khi góc giữa hai vectơ pháp tuyến có thể là góc tù (<tex>[0^\circ; 180^\circ]</tex>). Mối quan hệ là cosin của góc giữa hai mặt phẳng bằng trị tuyệt đối cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Câu 15:
Phát biểu: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng, thì vectơ chỉ phương của đường thẳng đó vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Đáp án: Đúng
Giải chi tiết: Nếu đường thẳng d</tex> song song với mặt phẳng <tex>(P)</tex>, điều đó có nghĩa là đường thẳng d</tex> vuông góc với đường thẳng pháp tuyến của mặt phẳng <tex>(P)</tex>. Do đó, vectơ chỉ phương của d</tex> (song song với d</tex>) sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của <tex>(P)</tex> (cùng phương với đường thẳng pháp tuyến). Tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0.
Lời Khuyên Để Nắm Vững Các Công Thức Tính Góc
Để thực sự làm chủ các công thức tính góc trong không gian, bạn không chỉ cần học thuộc mà còn phải hiểu rõ bản chất và cách áp dụng. Hãy thường xuyên luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau. Khi làm bài tập, hãy vẽ hình (hoặc hình dung trong đầu) để có cái nhìn trực quan về vị trí tương đối của các đối tượng hình học. Luôn kiểm tra lại các điều kiện áp dụng công thức (ví dụ: góc giữa đường thẳng/mặt phẳng là góc không tù). Bộ 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Giải Chi Tiết này là một công cụ hữu ích để bạn tự đánh giá và bổ sung kiến thức kịp thời.
Kết Luận
Việc nắm chắc các công thức tính góc trong không gian là yêu cầu bắt buộc để giải quyết tốt các bài toán hình học không gian trong các kỳ thi. Hy vọng rằng 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Công Thức Tính Góc Trong Không Gian Giải Chi Tiết này đã giúp bạn hệ thống hóa kiến thức, nhận diện được những lỗi sai tiềm ẩn và tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập tính toán liên quan đến góc. Hãy tiếp tục luyện tập để biến kiến thức lý thuyết thành kỹ năng thực hành. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao!
