Ứng dụng tích phân trong hình học là một phần kiến thức trọng tâm và thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Để giúp các bạn học sinh lớp 12 ôn tập hiệu quả và nắm vững kiến thức này, bài viết hôm nay sẽ cung cấp bộ 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân Giải Chi Tiết. Đây là cơ hội tuyệt vời để bạn kiểm tra lại kiến thức, rèn luyện kỹ năng phân tích đề và tìm ra những lỗ hổng cần bổ sung. Hãy cùng bắt đầu nhé!
Mục lục
Tại Sao Cần Luyện Tập Dạng Bài Đúng Sai Ứng Dụng Tích Phân?
Các câu hỏi trắc nghiệm đúng sai không chỉ yêu cầu bạn biết công thức mà còn đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về bản chất của vấn đề. Với chủ đề ứng dụng hình học của tích phân, dạng bài này giúp bạn phân biệt rõ ràng các trường hợp áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, và các bẫy sai lầm thường gặp. Việc luyện tập 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân Giải Chi Tiết sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các câu hỏi trong đề thi thật.
Bộ 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân
Dưới đây là 15 câu hỏi trắc nghiệm đúng sai được chọn lọc kỹ lưỡng, bao gồm các dạng toán phổ biến về diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox hoặc Oy. Mỗi câu hỏi đều có đáp án và lời giải thích chi tiết ngay sau đó.
Các Câu Hỏi Về Diện Tích Hình Phẳng
Hãy đọc kỹ đề bài và xác định xem khẳng định là Đúng hay Sai.
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1, x = 2\) là \(S = \int_1^2 x^2 dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) \ge 0\), trục hoành, đường thẳng \(x=a, x=b\) (\(a<b\)) là \(S = \int_a^b f(x) dx\). Trong trường hợp này, \(f(x) = x^2 \ge 0\) trên đoạn \([1, 2]\), nên công thức áp dụng là chính xác.
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -1, x = 1\) là \(S = \int_{-1}^1 x^3 dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Hàm số \(y = x^3\) đổi dấu trên đoạn \([-1, 1]\). Cụ thể, \(x^3 \le 0\) trên \([-1, 0]\) và \(x^3 \ge 0\) trên \([0, 1]\). Công thức tính diện tích tổng quát là \(S = \int_a^b |f(x)| dx\). Do đó, diện tích đúng phải là \(S = \int_{-1}^1 |x^3| dx = \int_{-1}^0 (-x^3) dx + \int_0^1 x^3 dx\). Tích phân từ -1 đến 1 của \(x^3\) là 0 (vì đây là hàm lẻ trên khoảng đối xứng), nhưng diện tích thì không thể âm hoặc bằng 0 trừ khi hình phẳng suy biến thành điểm hoặc đường thẳng.
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục trên \([a, b]\) là \(S = \int_a^b (f(x) – g(x)) dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Công thức đúng phải là \(S = \int_a^b |f(x) – g(x)| dx\). Chúng ta cần lấy trị tuyệt đối vì không phải lúc nào \(f(x) \ge g(x)\) trên toàn bộ đoạn \([a, b]\). Nếu \(f(x) – g(x)\) không đổi dấu trên \([a, b]\), công thức kia mới đúng, nhưng công thức tổng quát phải có trị tuyệt đối.
Câu 4: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0, x = \pi\) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y=f(x)\), trục Ox, \(x=a, x=b\) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\). Trong trường hợp này, \(f(x) = \sin x\), \(a=0, b=\pi\). Do đó, \(V = \pi \int_0^\pi (\sin x)^2 dx = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx\).
Câu 5: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2\) và \(y = x + 2\) quanh trục Ox được tính bằng công thức \(V = \pi \int_{-1}^2 [(x+2)^2 – (x^2)^2] dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Đầu tiên, tìm giao điểm của hai đồ thị: \(x^2 = x+2 \implies x^2 – x – 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = -1\) hoặc \(x = 2\). Trên đoạn \([-1, 2]\), đường thẳng \(y=x+2\) nằm phía trên parabol \(y=x^2\). Công thức tính thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) (\(f(x) \ge g(x)\) trên \([a, b]\)) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_a^b [f(x)^2 – g(x)^2] dx\). Ở đây \(f(x) = x+2\) và \(g(x) = x^2\), giới hạn từ \(x=-1\) đến \(x=2\). Do đó, công thức \(V = \pi \int_{-1}^2 [(x+2)^2 – (x^2)^2] dx\) là chính xác.
Câu 6: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(x = y^2\), trục Oy và đường thẳng \(y = 1\) quanh trục Oy là \(V = \pi \int_0^1 (y^2)^2 dy\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(x=g(y)\), trục Oy, đường thẳng \(y=c, y=d\) (\(c<d\)) quanh trục Oy là \(V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 dy\). Ở đây, \(g(y) = y^2\), giới hạn từ \(y=0\) (giao điểm của \(x=y^2\) với trục Oy) đến \(y=1\). Do đó, công thức \(V = \pi \int_0^1 (y^2)^2 dy\) là chính xác.
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = y^2\) và đường thẳng \(x = 1\) là \(S = \int_{-1}^1 (1 – y^2) dy\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Tìm giao điểm: \(y^2 = 1 \implies y = \pm 1\). Hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \(x = y^2\) và \(x=1\) giữa \(y=-1\) và \(y=1\). Trên khoảng này, đường \(x=1\) nằm bên phải đường \(x=y^2\). Công thức tính diện tích khi giới hạn bởi \(x = g_1(y)\) và \(x = g_2(y)\) (\(g_1(y) \ge g_2(y)\)) từ \(y=c\) đến \(y=d\) là \(S = \int_c^d (g_1(y) – g_2(y)) dy\). Ở đây \(g_1(y) = 1\), \(g_2(y) = y^2\), \(c=-1\), \(d=1\). Do đó, \(S = \int_{-1}^1 (1 – y^2) dy\) là chính xác.
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 – 4x\) và trục hoành là \(S = \int_0^4 (x^2 – 4x) dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Giao điểm của \(y = x^2 – 4x\) với trục hoành (\(y=0\)) là \(x^2 – 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x=0\) hoặc \(x=4\). Trên đoạn \([0, 4]\), parabol \(y = x^2 – 4x\) nằm phía dưới trục hoành (vì hệ số của \(x^2\) dương, đỉnh parabol nằm ở \(x=2\), \(y = 4 – 8 = -4\)). Do đó, \(x^2 – 4x \le 0\) trên \([0, 4]\). Công thức diện tích phải là \(S = \int_0^4 |x^2 – 4x| dx = \int_0^4 -(x^2 – 4x) dx = \int_0^4 (4x – x^2) dx\).
Câu 9: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sqrt{x}\), trục Ox và đường thẳng \(x = 4\) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_0^4 x dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Công thức \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\). Ở đây \(f(x) = \sqrt{x}\), \([a, b] = [0, 4]\). Vậy \(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx\).
Câu 10: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = x\), \(y = x^2\) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_0^1 (x – x^2)^2 dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Giao điểm của \(y=x\) và \(y=x^2\) là \(x=x^2 \implies x^2 – x = 0 \implies x(x-1) = 0 \implies x=0\) hoặc \(x=1\). Trên đoạn \([0, 1]\), đường \(y=x\) nằm phía trên đường \(y=x^2\). Công thức tính thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) (\(f(x) \ge g(x)\) trên \([a, b]\)) quanh trục Ox là \(V = \pi \int_a^b [f(x)^2 – g(x)^2] dx\). Ở đây \(f(x) = x\), \(g(x) = x^2\), \([a, b] = [0, 1]\). Do đó, công thức đúng phải là \(V = \pi \int_0^1 [x^2 – (x^2)^2] dx = \pi \int_0^1 (x^2 – x^4) dx\). Công thức trong đề bài tính thể tích của vật thể tạo bởi quay *khoảng cách* giữa hai đường, không phải hiệu của bình phương các bán kính.
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = e^x\), \(y = e^{-x}\) và \(x=1\) là \(S = \int_0^1 |e^x – e^{-x}| dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Đầu tiên, tìm giao điểm: \(e^x = e^{-x} \implies e^{2x} = 1 \implies 2x = 0 \implies x=0\). Hình phẳng giới hạn bởi ba đường này sẽ từ \(x=0\) đến \(x=1\). Trên đoạn \([0, 1]\), \(e^x > e^{-x}\). Công thức tổng quát là \(S = \int_a^b |f(x) – g(x)| dx\). Với \(a=0, b=1\), \(f(x) = e^x, g(x) = e^{-x}\), khẳng định này là đúng vì \(e^x – e^{-x}\) không đổi dấu trên \([0, 1]\).
Câu 12: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(x = y^2\) và \(x = y\) quanh trục Oy là \(V = \pi \int_0^1 (y^2 – y)^2 dy\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Giao điểm của \(x=y^2\) và \(x=y\) là \(y^2 = y \implies y^2 – y = 0 \implies y(y-1) = 0 \implies y=0\) hoặc \(y=1\). Trên đoạn \([0, 1]\) theo trục Oy, đường \(x=y\) nằm bên phải đường \(x=y^2\). Công thức tính thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(x=g_1(y)\) và \(x=g_2(y)\) (\(g_1(y) \ge g_2(y)\)) từ \(y=c\) đến \(y=d\) quanh trục Oy là \(V = \pi \int_c^d [g_1(y)^2 – g_2(y)^2] dy\). Ở đây \(g_1(y) = y\), \(g_2(y) = y^2\), \([c, d] = [0, 1]\). Do đó, công thức đúng phải là \(V = \pi \int_0^1 [y^2 – (y^2)^2] dy = \pi \int_0^1 (y^2 – y^4) dy\).
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(x=0\) và \(x=\frac{\pi}{2}\) là \(S = \int_0^{\pi/2} (\cos x – \sin x) dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Sai. Giao điểm của \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) trên \([0, \pi/2]\) là \(\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}\). Trên \([0, \pi/4]\), \(\cos x \ge \sin x\). Trên \([\pi/4, \pi/2]\), \(\sin x \ge \cos x\). Do đó, công thức diện tích đúng là \(S = \int_0^{\pi/2} |\cos x – \sin x| dx = \int_0^{\pi/4} (\cos x – \sin x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x – \cos x) dx\).
Câu 14: Thể tích khối nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) có thể được tính bằng công thức tích phân \(V = \pi \int_0^h (\frac{r}{h}x)^2 dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Một khối nón có thể được tạo thành khi quay đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc \(m\) quanh trục Ox, giới hạn từ \(x=0\) đến \(x=h\). Phương trình đường thẳng là \(y = mx\). Khi \(x=h\), \(y\) chính là bán kính đáy \(r\), nên \(r = mh \implies m = \frac{r}{h}\). Đường thẳng là \(y = \frac{r}{h}x\). Quay đường này quanh trục Ox từ \(x=0\) đến \(x=h\), thể tích là \(V = \pi \int_0^h [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^h (\frac{r}{h}x)^2 dx\). Công thức này chính xác.
Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sqrt{x}\), \(y = x-2\) và trục hoành là \(S = \int_0^2 \sqrt{x} dx + \int_2^4 (\sqrt{x} – (x-2)) dx\).
Lời giải chi tiết: Khẳng định này là Đúng. Tìm giao điểm: \(\sqrt{x} = x-2\). Bình phương hai vế (với điều kiện \(x-2 \ge 0 \implies x \ge 2\)): \(x = (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4 \implies x^2 – 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0 \implies x=1\) hoặc \(x=4\). Do điều kiện \(x \ge 2\), ta nhận \(x=4\). Giao điểm khác là \(y=\sqrt{x}\) và trục hoành (\(y=0\)) tại \(x=0\); \(y=x-2\) và trục hoành (\(y=0\)) tại \(x=2\). Hình phẳng được chia thành hai phần: từ \(x=0\) đến \(x=2\), giới hạn bởi \(y=\sqrt{x}\) và trục hoành; từ \(x=2\) đến \(x=4\), giới hạn bởi \(y=\sqrt{x}\) và \(y=x-2\). Phần 1 (\(x \in [0, 2]\)): giới hạn bởi \(y=\sqrt{x}\) và \(y=0\). Diện tích \(S_1 = \int_0^2 \sqrt{x} dx\). Phần 2 (\(x \in [2, 4]\)): giới hạn bởi \(y=\sqrt{x}\) và \(y=x-2\). Trên \([2, 4]\), \(\sqrt{x} \ge x-2\). Diện tích \(S_2 = \int_2^4 (\sqrt{x} – (x-2)) dx\). Tổng diện tích \(S = S_1 + S_2 = \int_0^2 \sqrt{x} dx + \int_2^4 (\sqrt{x} – (x-2)) dx\). Khẳng định này là đúng.
Rút Kinh Nghiệm Qua 15 Câu Trắc Nghiệm Này
Qua việc giải chi tiết 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân, bạn có thể thấy rằng không chỉ công thức, mà việc xác định đúng cận tích phân, hàm nào nằm trên/dưới hoặc trái/phải, và đôi khi là chia miền tích phân, là cực kỳ quan trọng. Dạng bài đúng sai giúp bạn nhận diện các sai lầm phổ biến khi áp dụng công thức một cách máy móc.
Kết Luận
Hy vọng bộ 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân Giải Chi Tiết này đã giúp bạn củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Hãy luyện tập thường xuyên các dạng bài tập ứng dụng tích phân trong hình học để tự tin hơn cho kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao!
