Chào mừng các bạn học sinh yêu Toán! Chủ đề phương trình mặt phẳng luôn là một phần quan trọng và đôi khi gây nhầm lẫn trong chương trình Hình học Oxyz lớp 12. Để giúp các bạn củng cố và nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả nhất, chúng tôi đã tổng hợp và biên soạn bài viết chuyên sâu với tiêu đề:

15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng Có Lời Giải Chi Tiết: Nắm Vững Kiến Thức!

Bài viết này không chỉ cung cấp cho bạn các câu hỏi trắc nghiệm đúng sai đầy thử thách mà còn đi kèm với lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ bản chất của từng vấn đề, từ đó tránh được những sai lầm phổ biến. Hãy cùng đi sâu vào từng phần nhé!

Phương Trình Mặt Phẳng Là Gì?

Trước khi giải các bài tập, chúng ta cùng nhắc lại một chút về khái niệm phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Một mặt phẳng trong không gian được xác định khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó. Vectơ pháp tuyến là vectơ khác vectơ không, có giá vuông góc với mặt phẳng đó.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$ là:

$A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0$

Sau khi nhân phá ngoặc và rút gọn, ta được phương trình có dạng:

$Ax + By + Cz + D = 0$

trong đó $D = -Ax₀ – By₀ – Cz₀$. Đây chính là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Tại Sao Cần Luyện Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng?

Dạng bài tập trắc nghiệm đúng sai đòi hỏi bạn phải hiểu rất chắc chắn về định nghĩa, tính chất và các trường hợp đặc biệt liên quan đến phương trình mặt phẳng. Không chỉ đơn thuần là tính toán, bạn cần phải phân tích, suy luận và kiểm tra tính đúng đắn của một phát biểu. Luyện tập dạng này giúp:

• Củng cố lý thuyết một cách sâu sắc.
• Phát hiện và sửa chữa những lỗ hổng kiến thức.
• Rèn luyện kỹ năng tư duy phản biện.
• Chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Với 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng Có Lời Giải Chi Tiết trong bài viết này, bạn sẽ có cơ hội thực hành đầy đủ các dạng câu hỏi thường gặp.

15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng

Dưới đây là 15 phát biểu. Nhiệm vụ của bạn là xác định xem mỗi phát biểu là Đúng hay Sai.

Câu 1: Vectơ $\vec{n} = (A, B, C)$ với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$ luôn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$.

Câu 2: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) có phương trình dạng $Ax + By + Cz = 0$.

Câu 3: Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến thì song song với nhau.

Câu 4: Phương trình $x + 2y – 3z + 5 = 0$ là phương trình của một mặt phẳng.

Câu 5: Mặt phẳng Oxz có phương trình $y = 0$.

Câu 6: Nếu hai mặt phẳng song song thì vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương.

Câu 7: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là duy nhất.

Câu 8: Vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì vectơ $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Câu 9: Mặt phẳng $(P): x – y + 2z – 1 = 0$ và mặt phẳng $(Q): -2x + 2y – 4z + 2 = 0$ trùng nhau.

Câu 10: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, -1) và vuông góc với trục Oz là $z + 1 = 0$.

Câu 11: Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bởi công thức $d(M, (P)) = \frac{|Ax₀ + By₀ + Cz₀|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Câu 12: Hai mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’}$ (với mẫu số khác 0).

Câu 13: Mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, -1, 4)$ có phương trình là $2(x – 1) – (y – 2) + 4(z – 3) = 0$.

Câu 14: Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy có phương trình dạng $Cz + D = 0$ với $C \neq 0$.

Câu 15: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với abc ≠ 0 là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (phương trình theo đoạn chắn).

Lời Giải Chi Tiết Cho 15 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng

Hãy kiểm tra lại đáp án của bạn và cùng xem lời giải chi tiết dưới đây:

Lời giải 1:

Phát biểu: Vectơ $\vec{n} = (A, B, C)$ với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$ luôn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$.

Đáp án: Đúng. Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ chính là vectơ $\vec{n} = (A, B, C)$, miễn là vectơ này khác vectơ không, tức là $A, B, C$ không đồng thời bằng 0 hay $A^2 + B^2 + C^2 > 0$.

Lời giải 2:

Phát biểu: Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) có phương trình dạng $Ax + By + Cz = 0$.

Đáp án: Đúng. Nếu mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0), thay tọa độ O vào phương trình ta có $A(0) + B(0) + C(0) + D = 0$, suy ra $D = 0$. Do đó, phương trình có dạng $Ax + By + Cz = 0$.

Lời giải 3:

Phát biểu: Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến thì song song với nhau.

Đáp án: Sai. Hai mặt phẳng có cùng vectơ pháp tuyến thì chúng có thể song song hoặc trùng nhau. Ví dụ, mặt phẳng $x + 2y + 3z + 4 = 0$ và $x + 2y + 3z – 1 = 0$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 2, 3)$ và chúng song song. Tuy nhiên, mặt phẳng $x + y + z + 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 2 = 0$ cũng có vectơ pháp tuyến cùng phương (ví dụ $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ và $\vec{n}_2 = (2, 2, 2)$, tức là cùng vectơ pháp tuyến xét theo phương) nhưng chúng trùng nhau.

Lời giải 4:

Phát biểu: Phương trình $x + 2y – 3z + 5 = 0$ là phương trình của một mặt phẳng.

Đáp án: Đúng. Đây là phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A = 1, B = 2, C = -3, D = 5$. Vectơ $(A, B, C) = (1, 2, -3)$ khác vectơ không, nên đây là phương trình của một mặt phẳng.

Lời giải 5:

Phát biểu: Mặt phẳng Oxz có phương trình $y = 0$.

Đáp án: Đúng. Mặt phẳng Oxz chứa trục Ox (phương trình $y=0, z=0$) và trục Oz (phương trình $x=0, y=0$). Mọi điểm nằm trên mặt phẳng Oxz đều có tung độ bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz có thể chọn là $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Phương trình mặt phẳng đi qua O(0,0,0) và có pháp tuyến $(0, 1, 0)$ là $0(x-0) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0$, hay $y = 0$.

Lời giải 6:

Phát biểu: Nếu hai mặt phẳng song song thì vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương.

Đáp án: Đúng. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia, và hai mặt phẳng đó không trùng nhau.

Lời giải 7:

Phát biểu: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là duy nhất.

Đáp án: Đúng. Ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. Do đó, phương trình của mặt phẳng đó là duy nhất (xét về dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ sau khi chuẩn hóa hoặc rút gọn).

Lời giải 8:

Phát biểu: Vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì vectơ $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Đáp án: Đúng. Nếu $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương không cùng phương của mặt phẳng (P), thì tích có hướng của chúng $[\vec{u}, \vec{v}]$ sẽ là một vectơ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Do $\vec{u}$ và $\vec{v}$ “nằm” trên mặt phẳng (hoặc song song với mặt phẳng), vectơ vuông góc với cả hai vectơ này sẽ vuông góc với mặt phẳng đó, tức là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải 9:

Phát biểu: Mặt phẳng $(P): x – y + 2z – 1 = 0$ và mặt phẳng $(Q): -2x + 2y – 4z + 2 = 0$ trùng nhau.

Đáp án: Đúng. Ta thấy phương trình của (Q) là $-2(x – y + 2z – 1) = 0$. Điều này chứng tỏ hai phương trình chỉ khác nhau một hằng số nhân (-2). Do đó, hai mặt phẳng này có cùng vectơ pháp tuyến cùng phương $\vec{n}_P = (1, -1, 2)$ và \vec{n}_Q = (-2, 2, -4) = -2(1, -1, 2)$, và chúng đi qua cùng một tập hợp điểm. Vậy hai mặt phẳng trùng nhau.

Lời giải 10:

Phát biểu: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, -1) và vuông góc với trục Oz là $z + 1 = 0$.

Đáp án: Đúng. Trục Oz có vectơ chỉ phương là $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Mặt phẳng vuông góc với trục Oz sẽ nhận $\vec{k}$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng đi qua M(1, 2, -1) và có VTPT $\vec{n} = (0, 0, 1)$ là $0(x – 1) + 0(y – 2) + 1(z – (-1)) = 0$, tức là $z + 1 = 0$.

Lời giải 11:

Phát biểu: Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bởi công thức $d(M, (P)) = \frac{|Ax₀ + By₀ + Cz₀|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Đáp án: Sai. Công thức đúng phải là $d(M, (P)) = \frac{|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Thiếu giá trị D trong tử số.

Lời giải 12:

Phát biểu: Hai mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’}$ (với mẫu số khác 0).

Đáp án: Sai. Điều kiện $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’}$ (với giả định các mẫu số khác 0) chỉ nói lên rằng hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Điều này dẫn đến hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Để chúng song song thực sự, cần thêm điều kiện $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}$ (khi các mẫu số khác 0 tương ứng). Hoặc điều kiện tổng quát là tồn tại số k sao cho $A=kA’, B=kB’, C=kC’$ và $D \neq kD’$.

Lời giải 13:

Phát biểu: Mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, -1, 4)$ có phương trình là $2(x – 1) – (y – 2) + 4(z – 3) = 0$.

Đáp án: Đúng. Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua điểm $(x₀, y₀, z₀)$ có VTPT $(A, B, C)$ là $A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0$. Với M(1, 2, 3) và $\vec{n} = (2, -1, 4)$, ta có phương trình $2(x – 1) + (-1)(y – 2) + 4(z – 3) = 0$, tức là $2(x – 1) – (y – 2) + 4(z – 3) = 0$. Phát biểu là đúng.

Lời giải 14:

Phát biểu: Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy có phương trình dạng $Cz + D = 0$ với $C \neq 0$.

Đáp án: Đúng. Mặt phẳng Oxy có phương trình $z = 0$, có VTPT $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Mặt phẳng song song với Oxy sẽ có VTPT cùng phương với $\vec{k}$, tức là có dạng $\vec{n} = (0, 0, C)$ với $C \neq 0$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có VTPT (0, 0, C) là $0x + 0y + Cz + D = 0$ hay $Cz + D = 0$. Điều kiện $C \neq 0$ đảm bảo đây là phương trình mặt phẳng và nó song song (không trùng) với Oxy (trừ trường hợp $D=0$ khi đó nó trùng với Oxy, nhưng thường thì dạng này ám chỉ song song và không trùng).

Lời giải 15:

Phát biểu: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với abc ≠ 0 là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (phương trình theo đoạn chắn).

Đáp án: Đúng. Đây là dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Thay tọa độ điểm A(a, 0, 0) vào phương trình: $\frac{a}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} = 1 + 0 + 0 = 1$ (Đúng). Tương tự, thay tọa độ B(0, b, 0) và C(0, 0, c) đều thỏa mãn. Phương trình này chỉ áp dụng khi a, b, c đều khác 0.

Kết Luận

Chúc mừng bạn đã hoàn thành 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Phẳng Có Lời Giải Chi Tiết! Hy vọng qua bài tập này, bạn đã tự kiểm tra và củng cố được kiến thức của mình về chủ đề phương trình mặt phẳng.

Việc luyện tập các dạng bài tập khác nhau, đặc biệt là dạng đúng sai có phân tích, sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn bản chất của vấn đề và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp trong đề thi. Đừng quên ôn tập lại lý thuyết và các dạng bài tập liên quan khác để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại để lại bình luận. Chúc bạn học tốt và thành công!