Bí Quyết Nắm Vững Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên

Chào các bạn học sinh thân mến! Chắc hẳn các bạn đang làm quen với chương trình Toán lớp 12 và gặp không ít “thử thách” với các loại hàm số khác nhau. Một trong những dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi, kiểm tra chính là xét tính đơn điệu của hàm số. Đặc biệt, khi gặp hàm số hợp dạng y=f(u) thì việc xét tính đơn điệu lại càng cần sự khéo léo. Bài viết này sẽ cùng bạn khám phá Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé!

Tại Sao Cần Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Hợp y=f(u)?

Hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) có vai trò cực kỳ quan trọng trong việc khảo sát hàm số, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, hay giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Đối với hàm số hợp y=f(u), việc xác định đúng các khoảng đồng biến, nghịch biến giúp chúng ta “giải mã” được hành vi của hàm số phức tạp hơn, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác.

Hiểu Rõ Về Bảng Biến Thiên

Trước khi đi sâu vào Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên, hãy nhớ lại bảng biến thiên cho chúng ta biết điều gì. Bảng biến thiên là một công cụ trực quan thể hiện sự biến thiên (tăng, giảm) của hàm số trên từng khoảng xác định dựa vào dấu của đạo hàm. Nó bao gồm các dòng thể hiện tập xác định, nghiệm của đạo hàm, dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số.

Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên

Đây là phần trọng tâm mà chúng ta mong chờ. Để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) khi đã có bảng biến thiên của hàm f(x) (hoặc f(u)) và biết sự biến thiên của u theo biến x, ta thực hiện theo nguyên tắc sau:

Nguyên Tắc Cơ Bản

Tính đơn điệu của hàm hợp y=f(u) trên một khoảng nào đó phụ thuộc vào TÍNH ĐƠN ĐIỆU của hàm “bên trong” u=g(x) trên khoảng đó VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU của hàm “bên ngoài” y=f(u) theo biến u tương ứng với tập giá trị của u trên khoảng đang xét của x.

Các Bước Thực Hiện

Quy trình chung để áp dụng Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên như sau:

Bước 1: Xác định rõ hàm “ngoài” f và hàm “trong” u=g(x). Tìm tập xác định của hàm số y=f(u).

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm u=g(x). Thường thì đề bài sẽ cho bảng biến thiên của u=g(x) hoặc bạn cần lập bảng biến thiên cho hàm này để biết trên khoảng nào thì u đồng biến, trên khoảng nào thì u nghịch biến. Xác định rõ khoảng giá trị của u trên từng khoảng xét của x.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên (hoặc thông tin về tính đơn điệu) của hàm y=f(u) theo biến u và sự biến thiên của u đã biết ở Bước 2 để suy ra chiều biến thiên của hàm y=f(u) theo biến x. Đây là lúc áp dụng quy tắc dấu.

Quy Tắc Dấu Đơn Điệu

Hãy nhớ quy tắc “cùng chiều thì đồng, khác chiều thì nghịch”:

+ Nếu trên một khoảng, hàm u(x) ĐỒNG BIẾN VÀ hàm f(u) ĐỒNG BIẾN (theo u), thì hàm y=f(u) ĐỒNG BIẾN (theo x).

+ Nếu trên một khoảng, hàm u(x) ĐỒNG BIẾN VÀ hàm f(u) NGHỊCH BIẾN (theo u), thì hàm y=f(u) NGHỊCH BIẾN (theo x).

+ Nếu trên một khoảng, hàm u(x) NGHỊCH BIẾN VÀ hàm f(u) ĐỒNG BIẾN (theo u), thì hàm y=f(u) NGHỊCH BIẾN (theo x).

+ Nếu trên một khoảng, hàm u(x) NGHỊCH BIẾN VÀ hàm f(u) NGHỊCH BIẾN (theo u), thì hàm y=f(u) ĐỒNG BIẾN (theo x).

Có thể hình dung đơn giản: (Đồng * Đồng = Đồng), (Đồng * Nghịch = Nghịch), (Nghịch * Đồng = Nghịch), (Nghịch * Nghịch = Đồng).

Lưu Ý Quan Trọng Khi Xét Tính Đơn Điệu

Khi áp dụng Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên, hãy luôn chú ý đến:

– Tập xác định của hàm số hợp.

– Khoảng giá trị mà u=g(x) nhận được trên từng khoảng xét của x. Điều này rất quan trọng để biết ta đang xét tính đơn điệu của f(u) trên đoạn/khoảng nào của biến u.

– Các điểm làm cho đạo hàm của u bằng 0 hoặc không xác định, vì chúng có thể chia các khoảng đơn điệu của u.

Kết Luận

Việc nắm vững Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Vào Bảng Biến Thiên là một kỹ năng nền tảng giúp bạn giải quyết được nhiều dạng bài tập khó hơn trong chương trình Toán THPT. Bằng cách hiểu rõ nguyên tắc kết hợp tính đơn điệu của hàm “trong” và hàm “ngoài” thông qua quy tắc dấu, bạn có thể “đọc” được chiều biến thiên của hàm số hợp một cách nhanh chóng và chính xác chỉ từ thông tin trên bảng biến thiên. Hãy luyện tập thật nhiều với các dạng bài tập khác nhau để thành thạo phương pháp này nhé! Chúc các bạn học tốt!