Tại Sao Cần Biết Cách Tính Tứ Phân Vị Và Trung Vị?

Trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là phần thống kê, Tứ Phân Vị (Quartile) và Trung Vị (Median) là những khái niệm quan trọng giúp mô tả sự phân tán của mẫu số liệu. Nắm vững cách tính tứ phân vị và cách tính trung vị không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong đề thi mà còn hiểu rõ hơn về dữ liệu thực tế. Tuy nhiên, việc tính toán thủ công đôi khi mất nhiều thời gian và dễ sai sót. Đó là lý do bạn cần biết Cách Tính Siêu Nhanh Tứ Phân Vị Thứ Nhất Thứ Ba Và Trung Vị Của Mẫu Số Liệu.

Trung Vị (Median – Me) Là Gì? Cách Tính Nhanh Trung Vị

Trung Vị là giá trị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành hai phần bằng nhau, mỗi phần chứa 50% số quan sát. Nó phản ánh “giá trị trung tâm” của dữ liệu và ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai (extreme values) hơn số trung bình cộng.

Cách Tính Nhanh Trung Vị:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Xác định vị trí của Trung Vị. Nếu số lượng phần tử (n) là lẻ, Trung Vị là giá trị ở vị trí \((n+1)/2\). Nếu n là chẵn, Trung Vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí \(n/2\) và \(n/2 + 1\).

Ví dụ: Mẫu số liệu {1, 5, 2, 7, 9}. Sắp xếp: {1, 2, 5, 7, 9}. n=5 (lẻ). Vị trí: (5+1)/2 = 3. Trung Vị là giá trị ở vị trí thứ 3, tức là 5.

Ví dụ: Mẫu số liệu {10, 4, 8, 12}. Sắp xếp: {4, 8, 10, 12}. n=4 (chẵn). Vị trí: 4/2 = 2 và 4/2 + 1 = 3. Trung Vị là trung bình cộng của giá trị thứ 2 và thứ 3: (8 + 10) / 2 = 9.

Phần tính Trung Vị này khá đơn giản và là nền tảng để hiểu về Tứ Phân Vị.

Tứ Phân Vị Thứ Nhất (Q1) và Thứ Ba (Q3) Là Gì? Cách Tính Siêu Nhanh

Tứ Phân Vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau, mỗi phần chứa 25% số quan sát. Có ba Tứ Phân Vị chính:

• Tứ Phân Vị Thứ Nhất (Q1): Là giá trị mà có 25% số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng nó. Q1 là Trung Vị của nửa dưới mẫu số liệu (các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Trung Vị).
• Tứ Phân Vị Thứ Hai (Q2): Chính là Trung Vị (Me). Có 50% số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng nó.
• Tứ Phân Vị Thứ Ba (Q3): Là giá trị mà có 75% số quan sát nhỏ hơn hoặc bằng nó. Q3 là Trung Vị của nửa trên mẫu số liệu (các giá trị lớn hơn hoặc bằng Trung Vị).

Cách Tính Siêu Nhanh Tứ Phân Vị Thứ Nhất Thứ Ba:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm và tính Trung Vị (Q2).

Bước 2: Chia mẫu số liệu thành hai nửa dựa vào Trung Vị (Q2).

• Nếu số lượng phần tử (n) là lẻ, loại bỏ Trung Vị (Q2) ra khỏi mẫu số liệu rồi chia hai nửa.
• Nếu số lượng phần tử (n) là chẵn, chia trực tiếp thành hai nửa bằng nhau.

Bước 3: Tứ Phân Vị Thứ Nhất (Q1) chính là Trung Vị của nửa dưới mẫu số liệu (đã loại bỏ Q2 nếu n lẻ). Tứ Phân Vị Thứ Ba (Q3) chính là Trung Vị của nửa trên mẫu số liệu (đã loại bỏ Q2 nếu n lẻ).

Đây là cách tính tứ phân vị phổ biến và dễ nhớ nhất trong chương trình THPT, giúp bạn tính toán nhanh chóng.

Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Siêu Nhanh

Xét mẫu số liệu về điểm kiểm tra của 9 học sinh: {6, 7, 8, 5, 9, 10, 7, 8, 6}.

Bước 1: Sắp xếp: {5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10}. n=9.

Tính Trung Vị (Q2): n=9 (lẻ). Vị trí: (9+1)/2 = 5. Q2 là giá trị ở vị trí thứ 5, tức là 7.

Bước 2: Chia mẫu số liệu thành hai nửa (loại bỏ Q2=7 vì n lẻ):

• Nửa dưới: {5, 6, 6, 7} (4 phần tử)
• Nửa trên: {8, 8, 9, 10} (4 phần tử)

Bước 3: Tính Q1 và Q3.

• Q1 là Trung Vị của {5, 6, 6, 7}. n=4 (chẵn). Vị trí: 4/2=2 và 4/2+1=3. Q1 = (6+6)/2 = 6.
• Q3 là Trung Vị của {8, 8, 9, 10}. n=4 (chẵn). Vị trí: 4/2=2 và 4/2+1=3. Q3 = (8+9)/2 = 8.5.

Vậy, Trung Vị là 7, Tứ Phân Vị Thứ Nhất là 6, và Tứ Phân Vị Thứ Ba là 8.5. Áp dụng cách tính siêu nhanh tứ phân vị thứ nhất thứ ba và trung vị của mẫu số liệu này, bạn có thể giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng.