Chào mừng các bạn học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào một dạng bài tập quan trọng và thường gặp trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia: **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**. Đây là dạng toán kết hợp giữa kiến thức về hàm hợp và việc đọc đồ thị đạo hàm, tưởng chừng phức tạp nhưng lại có phương pháp giải rất rõ ràng. Nắm vững kỹ thuật này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán khảo sát hàm số.
Mục lục
Hiểu Đúng Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Trước khi tìm hiểu **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**, chúng ta cần nhắc lại khái niệm cơ bản. Tính đơn điệu của hàm số (đồng biến hoặc nghịch biến) phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của đạo hàm của nó. Cụ thể:
- Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (a; b) nếu g'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b).
- Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu g'(x) < 0 với mọi x thuộc (a; b).
Mối Liên Hệ Giữa Đồ Thị f'(x) và Dấu Của f'(x)
Đồ thị của hàm số y = f'(x) cung cấp thông tin trực quan về dấu của đạo hàm f'(x) tại mỗi điểm x:
- Nếu đồ thị y = f'(x) nằm phía trên trục Ox trên khoảng (a; b), điều đó có nghĩa là f'(x) > 0 trên khoảng đó.
- Nếu đồ thị y = f'(x) nằm phía dưới trục Ox trên khoảng (a; b), điều đó có nghĩa là f'(x) < 0 trên khoảng đó.
- Các giao điểm của đồ thị y = f'(x) với trục Ox là nơi mà f'(x) = 0.
Đây là chìa khóa để giải quyết bài toán **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**.
Quy Trình Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Hợp y=f(u)
Với hàm số dạng y = f(u(x)), trong đó u(x) là một hàm số của x, đạo hàm của y theo x được tính bằng quy tắc chuỗi:
y’ = f'(u(x)) * u'(x)
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(u(x)), chúng ta cần xác định dấu của đạo hàm y’. Dấu của y’ phụ thuộc vào TÍCH của hai thừa số: f'(u(x)) và u'(x). Đây chính là trọng tâm của **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**.
Các Bước Thực Hiện Chi Tiết
1. **Tính đạo hàm y’:** Áp dụng quy tắc chuỗi, tính y’ = f'(u(x)) * u'(x).
2. **Tìm nghiệm của y’ = 0:** Giải phương trình f'(u(x)) * u'(x) = 0. Điều này tương đương với f'(u(x)) = 0 hoặc u'(x) = 0. Từ đồ thị y=f'(x), bạn sẽ tìm được các giá trị mà tại đó f'(trị) = 0. Đặt trị đó bằng u(x) để tìm x. Giải phương trình u'(x) = 0 để tìm các giá trị x khác.
3. **Xét dấu của y’:** Lập bảng biến thiên hoặc sử dụng phương pháp khoảng để xét dấu của y’ = f'(u(x)) * u'(x). Để làm được điều này, bạn cần biết:
- Dấu của u'(x) trên các khoảng.
- Dấu của f'(u(x)) trên các khoảng. Dấu của f'(u(x)) phụ thuộc vào giá trị của u(x) và đồ thị của f'(x). Ví dụ, nếu trên khoảng (a; b) ta có c < u(x) < d, và từ đồ thị f'(x) ta thấy f'(t) > 0 với mọi t thuộc (c; d), thì f'(u(x)) > 0 trên khoảng (a; b).
4. **Kết luận về tính đơn điệu:** Dựa vào bảng xét dấu của y’, kết luận các khoảng đồng biến (y’ > 0) và nghịch biến (y’ < 0) của hàm số y = f(u(x)).
Ví Dụ Minh Họa (Khái quát)
Giả sử bạn có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ (tưởng tượng). Từ đồ thị, bạn thấy f'(x) = 0 tại x = x1, x = x2, x = x3. Bạn cũng biết f'(x) dương trên khoảng (x1; x2) và (x3; +vô cực), và âm trên (-vô cực; x1) và (x2; x3).
Bây giờ xét hàm y = f(x^2). Ta có u(x) = x^2, u'(x) = 2x. Đạo hàm y’ = f'(x^2) * 2x.
y’ = 0 khi f'(x^2) = 0 hoặc 2x = 0.
f'(x^2) = 0 khi x^2 = x1, x^2 = x2, x^2 = x3. (Giải các phương trình này để tìm x)
2x = 0 khi x = 0.
Các nghiệm này chia trục số thành các khoảng. Trong mỗi khoảng, ta xét dấu của y’ = f'(x^2) * 2x. Dấu của 2x dễ xác định. Dấu của f'(x^2) phụ thuộc vào khoảng giá trị của x^2. Ví dụ, nếu x nằm trong khoảng mà 0 < x < sqrt(x2), thì 0 < x^2 < x2. Nếu đồ thị f'(t) cho thấy f'(t) > 0 khi 0 < t < x2, thì f'(x^2) > 0.
Kết hợp dấu của f'(x^2) và 2x sẽ suy ra dấu của y’. Đây chính là cốt lõi của **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**.
Lời Khuyên Khi Áp Dụng Cách Xét Tính Đơn Điệu Này
- Luôn vẽ bảng biến thiên để hệ thống hóa các điểm cực trị và khoảng xét dấu.
- Cẩn thận khi xét dấu của f'(u(x)). Nó phụ thuộc vào miền giá trị của u(x) trên từng khoảng xét và dấu của f'(t) trên đồ thị theo biến t.
- Luyện tập nhiều dạng bài khác nhau để thành thạo **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**.
Kết Luận
Việc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x) là một kỹ năng quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết về đạo hàm hàm hợp và khả năng đọc đồ thị. Bằng cách áp dụng quy trình ba bước: tính đạo hàm, tìm nghiệm đạo hàm bằng 0, và xét dấu đạo hàm dựa trên dấu của u'(x) và f'(u(x)), bạn hoàn toàn có thể chinh phục dạng bài này. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn rõ ràng và chi tiết về **Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa đồ thị hàm số y=f'(x)**. Chúc các bạn ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!
