Nắm Vững Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 12 – Bí Quyết Đạt Điểm Cao

Chào mừng các bạn học sinh lớp 12! Trong chương trình Toán THPT, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là một dạng bài quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Đặc biệt, các hàm số chứa giá trị tuyệt đối luôn gây ra không ít khó khăn cho các bạn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 12 một cách chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn tự tin chinh phục dạng bài này.

Tại Sao Cần Tìm GTLN và GTNN Của Hàm Chứa Trị Tuyệt Đối?

Tìm GTLN và GTNN của hàm số là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán khác trong chương trình Toán, từ khảo sát hàm số, giải phương trình, bất phương trình, đến các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu. Đối với hàm số chứa trị tuyệt đối, đồ thị của chúng thường có “điểm gãy”, làm cho việc khảo sát trở nên phức tạp hơn so với hàm số thông thường. Hiểu rõ Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 12 sẽ giúp bạn phân tích và xử lý các điểm đặc biệt này một cách hiệu quả.

Các Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 12

Có nhiều cách tiếp cận để tìm GTLN và GTNN của hàm số chứa giá trị tuyệt đối. Dưới đây là hai phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất:

Phương Pháp 1: Khảo Sát Trực Tiếp Hàm Số Bỏ Dấu Trị Tuyệt Đối

Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa trên định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

$|a| = a$ nếu $a \ge 0$

$|a| = -a$ nếu $a < 0$

Các bước thực hiện:

Bước 1: Xét biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối (ví dụ: $g(x)$ trong $|g(x)|$). Tìm các điểm $x$ mà tại đó $g(x) = 0$. Các điểm này chia miền xác định của hàm số thành các khoảng.

Bước 2: Trên mỗi khoảng, xác định dấu của $g(x)$. Từ đó, bỏ dấu giá trị tuyệt đối và viết lại hàm số dưới dạng không có trị tuyệt đối trên từng khoảng đó. Bạn sẽ thu được các biểu thức hàm số khác nhau trên các khoảng khác nhau.

Bước 3: Với mỗi biểu thức hàm số trên từng khoảng, áp dụng các phương pháp tìm GTLN, GTNN thông thường (sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên) trên khoảng đó.

Bước 4: So sánh các giá trị cực trị và giá trị tại các điểm mút (bao gồm cả các điểm làm cho biểu thức bên trong trị tuyệt đối bằng 0) trên toàn bộ miền xác định để tìm ra GTLN và GTNN cuối cùng của hàm số.

Phương pháp này đòi hỏi sự cẩn thận trong việc xét dấu và xử lý trên từng khoảng.

Phương Pháp 2: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

Phương pháp này thường hiệu quả khi hàm số có cấu trúc lặp lại liên quan đến biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: $h(x) = f(|g(x)|)$ hoặc $h(x) = |g(x)| + c \cdot g(x) + d$.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Đặt ẩn phụ $t = |g(x)|$.

Bước 2: Tìm miền giá trị của ẩn phụ $t$. Vì $t = |g(x)| \ge 0$ với mọi $x$, nên miền giá trị của $t$ sẽ là $[0, +\infty)$ hoặc một tập con của $[0, +\infty)$ tùy thuộc vào miền giá trị của $g(x)$. Cụ thể, nếu $g(x)$ có miền giá trị là $D_g$, thì $t = |g(x)|$ sẽ có miền giá trị là $\{|y| \mid y \in D_g\}$. Thường thì bạn cần tìm miền giá trị của $g(x)$ trước để xác định miền giá trị chính xác của $t$.

Bước 3: Viết lại hàm số ban đầu theo ẩn phụ $t$. Bạn sẽ thu được một hàm số mới theo biến $t$, ký hiệu là $F(t)$.

Bước 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $F(t)$ trên miền giá trị đã xác định của $t$ bằng các phương pháp thông thường (sử dụng đạo hàm, bảng biến thiên).

Các giá trị cực trị của $F(t)$ trên miền của $t$ chính là GTLN và GTNN của hàm số ban đầu.

Phương pháp này giúp đơn giản hóa bài toán, chuyển về việc tìm GTLN, GTNN của hàm một biến thông thường.

Kết Luận

Việc nắm vững Phương Pháp Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 12 là cực kỳ quan trọng để bạn giải quyết thành công các bài toán trong chương trình học và các kỳ thi quan trọng. Dù là phương pháp khảo sát trực tiếp hay đặt ẩn phụ, điều cốt yếu là sự cẩn thận, tỉ mỉ trong từng bước làm. Hãy luyện tập thật nhiều dạng bài tập khác nhau để thành thạo các phương pháp này. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao!