Mục lục
15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Cầu Có Lời Giải Chi Tiết: Chìa Khóa Ôn Thi Hiệu Quả!
Chào các bạn học sinh thân mến! Phương trình mặt cầu là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Để giúp các bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục dạng bài tập này, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào “15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Cầu Có Lời Giải Chi Tiết”. Đây là dạng bài tập đòi hỏi sự hiểu biết chắc chắn về định nghĩa, các dạng phương trình và cách xác định các yếu tố của mặt cầu. Hy vọng với 15 câu hỏi được chọn lọc kỹ càng cùng lời giải chi tiết, các bạn sẽ củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài hiệu quả nhất!
Tầm Quan Trọng Của Phương Trình Mặt Cầu Trong Đề Thi Tốt Nghiệp THPT
Trong cấu trúc đề thi môn Toán những năm gần đây, các câu hỏi liên quan đến hình học không gian tọa độ, mà phương trình mặt cầu là một phần không thể thiếu, luôn chiếm một tỷ lệ nhất định. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu giúp các bạn dễ dàng ghi điểm ở các câu hỏi nhận biết, thông hiểu và thậm chí là vận dụng. Dạng bài tập đúng sai không chỉ kiểm tra kiến thức lý thuyết mà còn giúp các bạn rèn luyện tư duy phản biện và khả năng nhận diện các mệnh đề đúng/sai một cách nhanh chóng và chính xác.
15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Phương Trình Mặt Cầu (Kèm Lời Giải Chi Tiết)
Hãy cùng thử sức với 15 câu hỏi dưới đây. Đối với mỗi câu, bạn hãy xác định xem mệnh đề đưa ra là Đúng hay Sai, sau đó so sánh với phần lời giải chi tiết nhé!
Câu 1: Mệnh đề: “Phương trình \\((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\\) là phương trình mặt cầu tâm \\(I(a;b;c)\\\) bán kính \\(R\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Đây chính là dạng phương trình chính tắc của mặt cầu, được suy ra trực tiếp từ định nghĩa mặt cầu là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng không đổi bằng bán kính.
Câu 2: Mệnh đề: “Để phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\) là phương trình mặt cầu thì điều kiện cần và đủ là \\(a^2 + b^2 + c^2 + d > 0\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Điều kiện cần và đủ để phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\) là phương trình mặt cầu là \\(a^2 + b^2 + c^2 – d > 0\\). Khi đó, tâm của mặt cầu là \\(I(a;b;c)\\\) và bán kính là \\(R = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}\\\). Dấu sai nằm ở việc sử dụng \\(+d\\) thay vì \\(-d\\).
Câu 3: Mệnh đề: “Mặt cầu tâm \\(O(0;0;0)\\\) bán kính \\(R\\) có phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Áp dụng công thức phương trình chính tắc với tâm \\(a=0, b=0, c=0\\), ta được \\((x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = R^2\\), tức là \\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\\).
Câu 4: Mệnh đề: “Phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 14 = 0\\) là phương trình mặt cầu.”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Xét phương trình dạng \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\), ta có \\(2a = 4 \\implies a = 2\\), \\(2b = -2 \\implies b = -1\\), \\(2c = 6 \\implies c = 3\\), \\(d = 14\\). Ta kiểm tra điều kiện \\(a^2 + b^2 + c^2 – d\\). Thay số vào ta được \\(2^2 + (-1)^2 + 3^2 – 14 = 4 + 1 + 9 – 14 = 14 – 14 = 0\\). Vì \\(a^2 + b^2 + c^2 – d = 0\\), phương trình này chỉ biểu diễn một điểm (tâm I) chứ không phải mặt cầu. Điều kiện để là mặt cầu phải là \\(a^2 + b^2 + c^2 – d > 0\\).
Câu 5: Mệnh đề: “Mặt cầu có đường kính \\(AB\\) với \\(A(x_1; y_1; z_1)\\\) và \\(B(x_2; y_2; z_2)\\\) có tâm là trung điểm của đoạn thẳng \\(AB\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Theo định nghĩa, đường kính của mặt cầu luôn đi qua tâm và hai đầu mút của đường kính nằm trên mặt cầu. Do đó, tâm mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đầu mút của đường kính.
Câu 6: Mệnh đề: “Bán kính của mặt cầu có đường kính \\(AB\\) (với \\(A, B\\) như câu 5) bằng độ dài đoạn thẳng \\(AB\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Bán kính của mặt cầu có đường kính \\(AB\\) phải bằng một nửa độ dài đoạn thẳng \\(AB\\), tức là \\(R = \\frac{AB}{2}\\\). Độ dài \\(AB\\) là đường kính, không phải bán kính.
Câu 7: Mệnh đề: “Mặt cầu tâm \\(I(1;2;3)\\\) tiếp xúc với mặt phẳng \\((P): x + 2y – 2z + 5 = 0\\) có bán kính là \\(R = \\frac{|1 + 2(2) – 2(3) + 5|}{\\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}\\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng bằng khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đó. Công thức khoảng cách từ điểm \\(I(x_0; y_0; z_0)\\\) đến mặt phẳng \\((P): Ax + By + Cz + D = 0\\) là \\(d(I, (P)) = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\\\). Áp dụng công thức này với \\(I(1;2;3)\\\) và \\((P): x + 2y – 2z + 5 = 0\\), ta được \\(R = \\frac{|1(1) + 2(2) – 2(3) + 5|}{\\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \\frac{|1 + 4 – 6 + 5|}{\\sqrt{1 + 4 + 4}} = \\frac{|4|}{\\sqrt{9}} = \\frac{4}{3}\\\). Công thức trong mệnh đề là chính xác.
Câu 8: Mệnh đề: “Mặt cầu tâm \\(I(1;2;3)\\\) đi qua điểm \\(A(1;2;4)\\\) có bán kính \\(R = 1\\).\”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Bán kính của mặt cầu đi qua điểm A bằng khoảng cách từ tâm I đến điểm A. \\(R = IA = \\sqrt{(1-1)^2 + (2-2)^2 + (4-3)^2} = \\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \\sqrt{1} = 1\\\). Bán kính bằng 1 là chính xác.
Câu 9: Mệnh đề: “Phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0\\) là phương trình mặt cầu.”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Xét phương trình dạng \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\), ta có \\(a=0, b=0, c=0, d=1\\\). Kiểm tra điều kiện \\(a^2 + b^2 + c^2 – d = 0^2 + 0^2 + 0^2 – 1 = -1\\\). Vì \\(a^2 + b^2 + c^2 – d = -1 < 0\\\), phương trình này không biểu diễn một mặt cầu (hay một điểm). Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình này là tập rỗng trong không gian thực.
Câu 10: Mệnh đề: “Tâm của mặt cầu \\(x^2 + y^2 + z^2 – 6x + 4y – 2z + 5 = 0\\) là \\(I(3; -2; 1)\\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Từ phương trình dạng tổng quát \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\), ta có \\( -2a = -6 \\implies a = 3\\), \\(-2b = 4 \\implies b = -2\\), \\(-2c = -2 \\implies c = 1\\), \\(d = 5\\\). Tâm mặt cầu là \\(I(a;b;c)\\\), vậy tâm là \\(I(3; -2; 1)\\\). Kiểm tra điều kiện mặt cầu: \\(a^2 + b^2 + c^2 – d = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 – 5 = 9 + 4 + 1 – 5 = 9 > 0\\\). Đây là phương trình mặt cầu và tâm là \\(I(3; -2; 1)\\\).
Câu 11: Mệnh đề: “Bán kính của mặt cầu \\(x^2 + y^2 + z^2 – 6x + 4y – 2z + 5 = 0\\) là \\(R = 3\\).\”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Từ câu 10, ta có tâm \\(I(3; -2; 1)\\\) và \\(d = 5\\\). Bán kính \\(R = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d} = \\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2 – 5} = \\sqrt{9 + 4 + 1 – 5} = \\sqrt{9} = 3\\\). Bán kính bằng 3 là chính xác.
Câu 12: Mệnh đề: “Điểm \\(M(1;1;1)\\\) nằm bên trong mặt cầu \\((S): x^2 + y^2 + z^2 = 3\\).\”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Mặt cầu \\((S): x^2 + y^2 + z^2 = 3\\) có tâm là gốc tọa độ \\(O(0;0;0)\\\) và bán kính \\(R = \\sqrt{3}\\\). Để xác định vị trí của điểm M so với mặt cầu, ta tính khoảng cách từ tâm O đến M: \\(OM = \\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \\sqrt{3}\\\). Khoảng cách \\(OM = \\sqrt{3}\\\) bằng bán kính \\(R = \\sqrt{3}\\\). Do đó, điểm M nằm trên mặt cầu, không phải bên trong mặt cầu.
Câu 13: Mệnh đề: “Mặt cầu tâm \\(I(2;0;0)\\\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ \\(Oyz\\) có bán kính \\(R = 2\\).\”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Mặt phẳng tọa độ \\(Oyz\\) có phương trình là \\(x = 0\\\). Khoảng cách từ tâm \\(I(2;0;0)\\\) đến mặt phẳng \\(Oyz\\) (\\(x=0\\) hay \\(1x + 0y + 0z + 0 = 0\\\)) là \\(d(I, Oyz) = \\frac{|1(2) + 0(0) + 0(0) + 0|}{\\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \\frac{|2|}{\\sqrt{1}} = 2\\\). Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \\(Oyz\\), bán kính của nó bằng khoảng cách này, tức là \\(R = 2\\\). Mệnh đề là Đúng.
Câu 14: Mệnh đề: “Mặt cầu \\((S): (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9\\) có bán kính \\(R = 9\\).\”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Sai. Từ phương trình chính tắc \\((x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-(-2))^2 = 3^2\\\), ta xác định được tâm \\(I(1;0;-2)\\\) và \\(R^2 = 9\\\). Do đó, bán kính mặt cầu là \\(R = \\sqrt{9} = 3\\\), không phải 9. Dấu sai nằm ở việc nhầm lẫn giữa \\(R^2\\) và \\(R\\).
Câu 15: Mệnh đề: “Phương trình \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 10 = 0\\) biểu diễn một mặt cầu có tâm \\(I(1;-2;3)\\\).”
Lời giải chi tiết: Mệnh đề này Đúng. Từ phương trình dạng tổng quát \\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\\), ta có \\(-2a = -2 \\implies a = 1\\), \\(-2b = 4 \\implies b = -2\\), \\(-2c = -6 \\implies c = 3\\), \\(d = 10\\\). Tâm mặt cầu là \\(I(a;b;c)\\\), vậy tâm là \\(I(1; -2; 3)\\\). Kiểm tra điều kiện mặt cầu: \\(a^2 + b^2 + c^2 – d = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 – 10 = 1 + 4 + 9 – 10 = 14 – 10 = 4 > 0\\\). Đây là phương trình mặt cầu và tâm là \\(I(1; -2; 3)\\\). Mệnh đề là Đúng.
Mẹo Làm Bài Tập Đúng Sai Phương Trình Mặt Cầu Hiệu Quả
Để làm tốt dạng bài tập 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Cầu Có Lời Giải Chi Tiết, các bạn cần lưu ý một số điểm sau:
- Nắm thật vững các dạng phương trình mặt cầu (chính tắc và tổng quát) và công thức xác định tâm, bán kính từ mỗi dạng.
- Hiểu rõ điều kiện để một phương trình bậc hai ba ẩn là phương trình mặt cầu: \\(a^2 + b^2 + c^2 – d > 0\\\).
- Ôn lại công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Khi gặp phương trình dạng tổng quát, hãy luôn kiểm tra điều kiện \\(a^2 + b^2 + c^2 – d > 0\\) trước khi kết luận đó là mặt cầu.
- Đọc kỹ từng câu hỏi, chú ý các từ ngữ như \”tâm\”, \”bán kính\”, \”tiếp xúc\”, \”đi qua\”, \”nằm bên trong/ngoài\”.
- Thực hành thật nhiều dạng bài khác nhau để nâng cao phản xạ.
Kết Luận
Hy vọng 15 Câu Trắc Nghiệm Đúng Sai Phương Trình Mặt Cầu Có Lời Giải Chi Tiết này đã cung cấp cho các bạn một nguồn tài liệu ôn tập hữu ích. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài đúng sai giúp bạn không chỉ kiểm tra lại kiến thức đã học mà còn phát hiện và khắc phục những lỗ hổng kiến thức. Hãy tiếp tục ôn tập chăm chỉ chuyên đề phương trình mặt cầu và các chuyên đề khác để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới nhé! Chúc các bạn học tốt!
