Chuyên Đề Cấp Số Cộng Cấp Số Nhân Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025

1. Khái Niệm Cấp Số Cộng

Cấp số cộng (CSC) là một dãy số trong đó hiệu của hai số liên tiếp là không đổi.

• Công thức tổng quát:
  • Dãy số: a1,a2,a3,…,ana_1, a_2, a_3, \ldots, a_n
  • Hiệu số: d=an+1−and = a_{n+1} – a_n (hằng số)
• Công thức tính số hạng thứ nn:an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d
• Công thức tính tổng của nn số hạng:Sn=n2⋅(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)Hoặc:

  Sn=n2⋅(2a1+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)

2. Khái Niệm Cấp Số Nhân

Cấp số nhân (CSN) là một dãy số trong đó thương của hai số liên tiếp là không đổi.

• Công thức tổng quát:
  • Dãy số: b1,b2,b3,…,bnb_1, b_2, b_3, \ldots, b_n
  • Thương số: q=bn+1bnq = \frac{b_{n+1}}{b_n} (hằng số)
• Công thức tính số hạng thứ nn:bn=b1⋅q(n−1)b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
• Công thức tính tổng của nn số hạng (trong CSN, khi $ q \neq 1 $):Sn=b1⋅1−qn1−qS_n = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ Cấp Số Cộng

Cho dãy số: 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, …

• Tìm a5a_5:
  • d=5−2=3d = 5 – 2 = 3
  • a5=2+(5−1)⋅3=2+12=14a_5 = 2 + (5-1) \cdot 3 = 2 + 12 = 14
• Tính tổng S5S_5:
  • S5=52⋅(2+14)=52⋅16=40S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 + 14) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40

Ví dụ Cấp Số Nhân

Cho dãy số: 3,6,12,24,…3, 6, 12, 24, …

• Tìm b4b_4:
  • q=63=2q = \frac{6}{3} = 2
  • b4=3⋅2(4−1)=3⋅8=24b_4 = 3 \cdot 2^{(4-1)} = 3 \cdot 8 = 24
• Tính tổng S4S_4:
  • S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1} = 3 \cdot 15 = 45

4. Bài Tập Thực Hành

1. Cho dãy cấp số cộng với a1=4,d=7a_1 = 4, d = 7. Tìm a10a_{10} và tính tổng S10S_{10}.
2. Cho dãy cấp số nhân với b1=5,q=3b_1 = 5, q = 3. Tìm b6b_6 và tính tổng S6S_6.

Kết Luận

Cấp số cộng và cấp số nhân là hai khái niệm cơ bản trong toán học. Việc hiểu rõ các công thức và cách áp dụng sẽ giúp ích rất nhiều trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Hãy thực hành nhiều bài tập để nắm vững kiến thức!