Cách Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số y=f(u) Dựa Đồ Thị Hàm Số y=f'(x)

Cách xét tính đơn điệu của hàm số y=f(u) dựa vào đồ thị hàm số y=f'(x) được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. Phương pháp

+ Từ đồ thị của hàm số $y = f'(x)$, suy ra dấu của $f'(x)$.

+ Tính $g'(x)$ và lập bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$, suy ra dấu của $g'(x)$.

+ Kết luận về tính đơn điệu của hàm số $y = g(x)$.

Chú ý:

-Trên khoảng $left( {a;b} right)$, đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành thì $f'(x) > 0,,forall x in left( {a;b} right)$.

-Trên khoảng $left( {a;b} right)$, đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành thì $f'(x) < 0,,forall x in left( {a;b} right)$.

– Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại điểm ${x_0}$ thì $f'({x_0}) = 0$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có đồ thị đạo hàm $f’left( x right)$ là hàm số bậc hai như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = g(x) = fleft( {7 – 2x} right)$.

Lời giải

Chú ý:$y = f(u) Rightarrow y’ = {left[ {f(u)} right]^prime } = u’f'(u)$

Ta có:

$g'(x) = {left[ {fleft( {7 – 2x} right)} right]^prime }$$ = {left( {7 – 2x} right)^prime }f’left( {7 – 2x} right) = – 2f’left( {7 – 2x} right)$

$g'(x) = – 2f’left( {7 – 2x} right) = 0$$ Leftrightarrow f’left( {7 – 2x} right) = 0$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
7 – 2x = – 1 hfill \
7 – 2x = 2 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 4 hfill \
x = frac{5}{2} hfill \
end{gathered} right.$.

Bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$

Vậy hàm số $y = g(x)$

– Đồng biến trên khoảng $left( {frac{5}{2};4} right)$.

– Nghịch biến trên các khoảng $left( { – infty ;frac{5}{2}} right)$ và $left( {4; + infty } right)$.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có đồ thị đạo hàm $f’left( x right)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = g(x) = fleft( {{x^2}} right)$.

Lời giải

Ta có:

$g'(x) = {left[ {fleft( {{x^2}} right)} right]^prime }$$ = {left( {{x^2}} right)^prime }f’left( {{x^2}} right) = 2xf’left( {{x^2}} right)$

$g'(x) = 2xf’left( {{x^2}} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
2x = 0 hfill \
f’left( {{x^2}} right) = 0 hfill \
end{gathered} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
{x^2} = – 1,,(vô,nghiệm) hfill \
{x^2} = 1 hfill \
{x^2} = 2 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
x = pm 1 hfill \
x = pm sqrt 2 hfill \
end{gathered} right.$

Bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$

Vậy hàm số $y = g(x)$

– Đồng biến trên các khoảng $left( { – infty ; – sqrt 2 } right)$, $left( { – 1;0} right)$ và $left( {1;sqrt 2 } right)$.

– Nghịch biến trên các khoảng $left( { – sqrt 2 ; – 1} right)$, $left( {0;1} right)$ và $left( {sqrt 2 ; + infty } right)$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có đồ thị đạo hàm $f’left( x right)$ là hàm số bậc ba như hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = g(x) = fleft( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right)$.

Lời giải

Ta có:

$g'(x) = {left[ {fleft( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right)} right]^prime }$$ = {left( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right)^prime }f’left( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right)$ $ = frac{1}{2}xf’left( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right)$

$g'(x) = frac{1}{2}xf’left( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
frac{1}{2}x = 0 hfill \
f’left( {frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4}} right) = 0 hfill \
end{gathered} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4} = – frac{1}{2} hfill \
frac{1}{4}{x^2} – frac{1}{4} = 1 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
{x^2} = – 1,(vô,nghiệm) hfill \
{x^2} = 3 hfill \
end{gathered} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
x = pm sqrt 3 hfill \
end{gathered} right.$

Bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$

Vậy hàm số $y = g(x)$

– Đồng biến trên khoảng $left( {0; + infty } right)$.

– Nghịch biến trên khoảng $left( { – infty ;0} right)$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có đồ thị đạo hàm $y = f’left( x right)$ hình vẽ.

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = g(x) = fleft( { – {x^2} + 3} right)$.

Lời giải

Ta có:

$g'(x) = {left[ {fleft( { – {x^2} + 3} right)} right]^prime }$$ = {left( { – {x^2} + 3} right)^prime }f’left( { – {x^2} + 3} right) = – 2xf’left( { – {x^2} + 3} right)$

$g'(x) = – 2xf’left( { – {x^2} + 3} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
– 2x = 0 hfill \
f’left( { – {x^2} + 3} right) = 0 hfill \
end{gathered} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
– {x^2} + 3 = – 1 hfill \
– {x^2} + 3 = 1 hfill \
– {x^2} + 3 = 3 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
{x^2} = 4 hfill \
{x^2} = 2 hfill \
{x^2} = 0 hfill \
end{gathered} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0 hfill \
x = pm 2 hfill \
x = pm sqrt 2 hfill \
x = 0 hfill \
end{gathered} right.$

Bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$

Vậy hàm số $y = g(x)$

– Đồng biến trên các khoảng $left( { – infty ; – sqrt 2 } right)$ và $left( {0;sqrt 2 } right)$.

– Nghịch biến trên các khoảng $left( { – sqrt 2 ;0} right)$ và $left( {sqrt 2 ; + infty } right)$.