Cách Tìm GTLN Và GTNN Của Hàm Số Trên Một Khoảng Một Đoạn

I. Tìm GTLN và GTNN trên một khoảng, nữa khoảng

1. Phương pháp

– Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $D$, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận.

– Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ (mà không nói “trên tập $D$ “) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên tập xác định của hàm số.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{3x – 2}}{{x – 1}}$ trên khoảng $left( {1; + infty } right)$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{3.( – 1) – ( – 2).1}}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}} = frac{{ – 1}}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}} < 0,,forall x in left( {1; + infty } right)$.

Bảng biến thiên

Vậy

– Không tồn tại giá trị lớn nhất trên $left( {1; + infty } right)$.

– Không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên $left( {1; + infty } right)$.

Ví dụ 2.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{4x – 3}}{{x + 2}}$ trên nữa khoảng $left( { – 2;7} right]$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{4.2 – ( – 3).1}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}} = frac{{11}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}} > 0,,forall x in left( { – 2;7} right]$.

Bảng biến thiên

Vậy

– $mathop {max}limits_{left( { – 2;7} right]} = yleft( 7 right) = frac{{25}}{9}$.

– Không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên $left( { – 2;7} right]$.

Ví dụ 3.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{{x^2} – 2x + 16}}{{x – 2}}$ trên khoảng $left( {2; + infty } right)$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{{{left( {{x^2} – 2x + 16} right)}^prime }left( {x – 2} right) – left( {{x^2} – 2x + 16} right){{left( {x – 2} right)}^prime }}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{left( {2x – 2} right)left( {x – 2} right) – left( {{x^2} – 2x + 16} right).1}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{2{x^2} – 4x – 2x + 4 – {x^2} + 2x – 16}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$$ = frac{{{x^2} – 4x – 12}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$.

$y’ = 0 Leftrightarrow frac{{{x^2} – 4x – 12}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} = 0$

$ Rightarrow {x^2} – 4x – 12 = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 6,,(nhận) hfill \
x = – 2,,(loại) hfill \
end{gathered} right.$

Bảng biến thiên

Vậy

– $mathop {min }limits_{left( {2; + infty } right)} y = y(6) = 10$

– Không tồn tại giá trị lớn nhất trên $left( {2; + infty } right)$.

Ví dụ 4.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{4{x^2} + 4x + 9}}{{x + 1}}$ trên khoảng $left( { – infty ; – 1} right)$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{{{left( {4{x^2} + 4x + 9} right)}^prime }left( {x + 1} right) – left( {4{x^2} + 4x + 9} right){{left( {x + 1} right)}^prime }}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$

$ = frac{{left( {8x + 4} right)left( {x + 1} right) – left( {4{x^2} + 4x + 9} right).1}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$

$ = frac{{8{x^2} + 8x + 4x + 4 – 4{x^2} – 4x – 9}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$$ = frac{{4{x^2} + 8x – 5}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$

$y’ = 0 Leftrightarrow frac{{4{x^2} + 8x – 5}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = 0$

$ Rightarrow 4{x^2} + 8x – 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = frac{1}{2},,(loại) hfill \
x = – frac{5}{2},,(nhận) hfill \
end{gathered} right.$

Bảng biến thiên

Vậy

– $mathop {max}limits_{left( { – infty ; – 1} right)} = yleft( { – frac{5}{2}} right) = – 16$

– Không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên $left( { – infty ; – 1} right)$.

Ví dụ 5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{2{x^2} – 3}}{{{x^2} + 2}}$.

Lời giải

Tập xác định: $D = mathbb{R}$

Ta có: $y’ = frac{{{{left( {2{x^2} – 3} right)}^prime }left( {{x^2} + 2} right) – left( {2{x^2} – 3} right){{left( {{x^2} + 2} right)}^prime }}}{{{{left( {{x^2} + 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{4x.left( {{x^2} + 2} right) – left( {2{x^2} – 3} right).2x}}{{{{left( {{x^2} + 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{4{x^3} + 8x – 4{x^3} + 6x}}{{{{left( {{x^2} + 2} right)}^2}}}$$ = frac{{14x}}{{{{left( {{x^2} + 2} right)}^2}}}$

$y’ = 0 Leftrightarrow frac{{14x}}{{{{left( {{x^2} + 2} right)}^2}}} = 0$

$ Leftrightarrow 14x = 0 Leftrightarrow x = 0$

Bảng biến thiên

Vậy

– $mathop {min }limits_mathbb{R} y = y(0) = – frac{3}{2}$.

– Không tồn tại giá trị lớn nhất trên $mathbb{R}$.

Ví dụ 6.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = sqrt {{x^2} – 25} $.

Lời giải

Tập xác định: $D = left( { – infty ; – 5} right] cup left[ {5; + infty } right)$

Ta có: $y’ = frac{{{{left( {{x^2} – 25} right)}^prime }}}{{2sqrt {{x^2} – 25} }} = frac{{2x}}{{2sqrt {{x^2} – 25} }} = frac{x}{{sqrt {{x^2} – 25} }}$

$y’ = 0 Rightarrow x = 0,(loại)$.

Bảng biến thiên

Vậy

– $mathop {min }limits_D y = yleft( { – 5} right) = yleft( 5 right) = 0$.

– Không tồn tại giá trị lớn nhất trên $D$.

2. Tìm GTLN và GTNN trên một đoạn

1. Phương pháp

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$:

1. Tìm các điểm $x_1, x_2, ldots, x_n in(a ; b)$, tại đó $f'(x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

2. Tính $fleft(x_1right), fleft(x_2right), ldots, fleft(x_nright), f(a)$ và $f(b)$.

3. Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số trên.

Ta có: $M = mathop {max}limits_{left[ {a;b} right]} f(x)$; $m = mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} f(x)$.

2. Các ví dụ

Ví dụ 7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 5$ trên đoạn $left[ {1;4} right]$.

Lời giải

Trên đoạn $left[ {0;4} right]$, ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x$.

$y’ = 0 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 2 hfill \
x = 0,(loại) hfill \
end{gathered} right.$

$y(1) = 3$; $yleft( 4 right) = 21$; $yleft( 2 right) = 1$.

Vậy

– $mathop {max}limits_{left[ {1;4} right]} = yleft( 4 right) = 21$

– $mathop {min }limits_{left[ {1;4} right]} y = y(2) = 1$.

Ví dụ 8.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = – {x^4} + 8{x^2} + 4$ trên đoạn $left[ { – sqrt 5 ;2} right]$.

Lời giải

Trên đoạn$left[ { – sqrt 5 ;2} right]$, ta có: $y’ = – 4{x^3} + 16x$.

$y’ = 0 Leftrightarrow – 4{x^3} + 16x = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 2,(nhận) hfill \
x = 0,(nhận), hfill \
x = – 2,,(nhận) hfill \
end{gathered} right.$

$yleft( { – sqrt 5 } right) = 19$; $yleft( 2 right) = 20$; $yleft( 0 right) = 4$; $yleft( { – 2} right) = 20$ .

Vậy

– $mathop {max}limits_{left[ { – sqrt 5 ;2} right]} = yleft( { – 2} right) = yleft( 2 right) = 20$

– $mathop {min }limits_{left[ { – sqrt 5 ;2} right]} y = y(0) = 4$.

Ví dụ 9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = frac{{ – 3x + 5}}{{x – 7}}$ trên đoạn $left[ { – 3;0} right]$.

Lời giải

Trên đoạn $left[ { – 3;0} right]$, ta có: $y’ = frac{{16}}{{{{left( {x – 7} right)}^2}}} > 0,,forall x in left[ { – 3;0} right]$.

$yleft( { – 3} right) = – frac{7}{5}$; $yleft( 0 right) = – frac{5}{7}$.

Vậy

– $mathop {max}limits_{left[ { – 3;0} right]} = yleft( 0 right) = – frac{5}{7}$

– $mathop {min }limits_{left[ { – 3;0} right]} y = y( – 3) = – frac{7}{5}$

Ví dụ 10.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = sqrt {27 – 3{x^2}} $.

Lời giải

Tập xác định: $D = left[ { – 3;3} right]$

Ta có: $y’ = frac{{{{left( {27 – 3{x^2}} right)}^prime }}}{{2sqrt {27 – 3{x^2}} }} = frac{{ – 6x}}{{2sqrt {27 – 3{x^2}} }} = frac{{ – 3x}}{{sqrt {27 – 3{x^2}} }}$

$y’ = 0 Rightarrow – 3x = 0 Leftrightarrow x = 0,(nhận)$.

$yleft( { – 3} right) = 0$; $yleft( 3 right) = 0$; $yleft( 0 right) = 3sqrt 3 $.

Vậy

– $mathop {max}limits_{left[ { – 3;3} right]} = yleft( 0 right) = 3sqrt 3 $

– $mathop {min }limits_{left[ { – 3;3} right]} y = y( – 3) = y(3) = 0$

Ví dụ 11.Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = sqrt { – {x^2} + 8x – 7} $.

Lời giải

Tập xác định: $D = left[ {1;7} right]$

Ta có: $y’ = frac{{{{left( { – {x^2} + 8x – 7} right)}^prime }}}{{2sqrt { – {x^2} + 8x – 7} }} = frac{{ – 2x + 8}}{{2sqrt { – {x^2} + 8x – 7} }}$ $ = frac{{ – x + 4}}{{sqrt { – {x^2} + 8x – 7} }}$

$y’ = 0 Rightarrow – x + 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 4,(nhận)$.

$yleft( 1 right) = 0$; $yleft( 7 right) = 0$; $yleft( 4 right) = 3$.

Vậy

– $mathop {max}limits_{left[ {1;7} right]} = yleft( 4 right) = 3$

– $mathop {min }limits_{left[ { – 3;3} right]} y = y(1) = y(7) = 0$

Ví dụ 12: (ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024) Giá trị lớn nhất của hàm số $fleft( x right) = – 6{x^3} + 27{x^2} – 16x + 1$ trên đoạn $left[ {1;5} right]$ bằng
A. 6 .
B. $frac{{329}}{9}$.
C. $ – frac{{14}}{9}$.
D. -154 .

Lời giải

Ta có: $f’left( x right) = – 18{x^2} + 54x – 16$

$f’left( x right) = 0 Leftrightarrow – 18{x^2} + 54x – 16 = 0$$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{8}{3},(nhận)} \
{x = frac{1}{3},(loại)}
end{array}} right.$

Khi đó, $fleft( 1 right) = 6,fleft( 5 right) = – 154,fleft( {frac{8}{3}} right) = frac{{329}}{9}$

Suy ra, $mathop {max}limits_{left[ {1;5} right]} f(x) = fleft( {frac{8}{3}} right) = frac{{329}}{9}$.

Chọn B