Cách Xác Định m Để GTLN Và GTNN Của Hàm Số Bằng Một Số Cho Trước

I. Phương pháp

+ Nếu hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $left[ {a;b} right]$ thì $mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = f(a)$ và $mathop {max}limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = f(b)$.

+ Nếu hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $left[ {a;b} right]$ thì $mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = f(b)$ và $mathop {max}limits_{left[ {a;b} right]} f(x) = f(a)$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1.Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + m$. Tìm $m$ để $mathop {min }limits_{left[ { – 1;2} right]} y + mathop {max}limits_{left[ { – 1;2} right]} y = 4$.

Lời giải

Ta tìm $mathop {min }limits_{left[ { – 1;2} right]} y$ và $mathop {max}limits_{left[ { – 1;2} right]} y$.

Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x$

$y’ = 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 0,,(nhận) hfill \
x = – 2,,(loại) hfill \
end{gathered} right.$

Khi đó, $y( – 1) = m + 2$; $y(2) = m + 20$; $y(0) = m$

Suy ra, $mathop {min }limits_{left[ { – 1;2} right]} y = yleft( 2 right) = m + 20$; $mathop {max}limits_{left[ { – 1;2} right]} y = yleft( 0 right) = m$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ { – 1;2} right]} y + mathop {max}limits_{left[ { – 1;2} right]} y = 4$$ Leftrightarrow m + m + 20 = 4$$ Leftrightarrow m = – 8$

Vậy $m = – 8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2.Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} – m$. Tìm $m$ để $mathop {min }limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y + mathop {max}limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y = 10$.

Lời giải

Ta tìm $mathop {min }limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y$ và $mathop {max}limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y$.

Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 4x$

$y’ = 0 Leftrightarrow – 4{x^3} + 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = 1,,(loại) hfill \
x = 0,,(nhận) hfill \
x = – 1,,(nhận) hfill \
end{gathered} right.$

Khi đó, $yleft( { – sqrt 3 } right) = – 3 – m$; $y(0) = – m$; $y( – 1) = 1 – m$.

Suy ra,$mathop {min }limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y = yleft( { – sqrt 3 } right) = – 3 – m$ và $mathop {max}limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y = y( – 1) = 1 – m$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y + mathop {max}limits_{left[ { – sqrt 3 ;0} right]} y = 10$$ Leftrightarrow – 3 – m + 1 – m = 10$$ Leftrightarrow m = – 6$

Vậy $m = – 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = frac{{x – m}}{{x – 2}}$. Tìm $m$ để $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = 5$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{ – 2 + m}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

Trường hợp 1: $ – 2 + m > 0 Leftrightarrow m > 2$$ Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $left[ { – 2;1} right]$

Nên $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = yleft( { – 2} right) = frac{{ – 2 – m}}{{ – 2 – 2}} = frac{{2 + m}}{4}$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = 5 Leftrightarrow frac{{2 + m}}{4} = 5$$ Leftrightarrow 2 + m = 20 Leftrightarrow m = 18$ (thỏa $m > 2$).

Trường hợp 2: $ – 2 + m < 0 Leftrightarrow m < 2$$ Rightarrow $Hàm số $y$ nghịch biến trên $left[ { – 2;1} right]$

Nên $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = yleft( 1 right) = frac{{1 – m}}{{1 – 2}} = – 1 + m$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = 5 Leftrightarrow – 1 + m = 5$$ Leftrightarrow m = 6$ (không thỏa $m < 2$).

Trường hợp 3: $ – 2 + m = 0 Leftrightarrow m = 2$$ Rightarrow $ $y = 1$

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ { – 2;1} right]} y = 5 Leftrightarrow 1 = 5$ (vô lí)

Vậy, $m = 18$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = frac{{2x – m}}{{x + 3}}$. Tìm $m$ để $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y + 4mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = 11$.

Lời giải

Ta có: $y’ = frac{{6 + m}}{{{{left( {x + 3} right)}^2}}}$

Trường hợp 1: $6 + m > 0 Leftrightarrow m > – 6$$ Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $left[ {0;1} right]$

Nên $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( 0 right) = frac{{ – m}}{3}$ và $mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( 1 right) = frac{{2 – m}}{4}$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y + mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = 11$$ Leftrightarrow frac{{ – m}}{3} + 4.frac{{2 – m}}{4} = 11$

$ Leftrightarrow frac{{ – m}}{3} + 2 – m = 11$$ Leftrightarrow m = – frac{{27}}{4}$(không thỏa $m > – 6$).

Trường hợp 2: $6 + m < 0 Leftrightarrow m < – 6$$ Rightarrow $Hàm số $y$ nghịch biến trên $left[ {0;1} right]$

Nên $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( 1 right) = frac{{2 – m}}{4}$ và $mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = yleft( 0 right) = frac{{ – m}}{3}$.

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y + mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = 11$$ Leftrightarrow frac{{2 – m}}{4} + 4.frac{{ – m}}{3} = 11 Leftrightarrow m = – frac{{126}}{{19}}$ (thỏa $m < – 6$).

Trường hợp 3: $6 + m = 0 Leftrightarrow m = – 6$$ Rightarrow $ $y = 2$

Theo đề $mathop {min }limits_{left[ {0;1} right]} y + 4mathop {max}limits_{left[ {0;1} right]} y = 11 Leftrightarrow 2 + 4.2 = 11$ (vô lí)

Vậy, $m = – frac{{126}}{{19}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5.Cho hàm số $y = frac{{{x^2} – {m^2}}}{x}$. Tìm $m$ để $mathop {min }limits_{left[ {1;3} right]} y + 3mathop {max}limits_{left[ {1;3} right]} y = 5$.

Lời giải

Ta tìm $mathop {min }limits_{left[ {1;3} right]} y$ và $mathop {max}limits_{left[ {1;3} right]} y$.

Ta có: $y’ = frac{{{x^2} – {m^2}}}{x} = frac{{{{left( {{x^2} – {m^2}} right)}^prime }x – left( {{x^2} – {m^2}} right){{left( x right)}^prime }}}{{{x^2}}}$

$ = frac{{2x.x – left( {{x^2} – {m^2}} right).1}}{{{x^2}}}$$ = frac{{{x^2} + {m^2}}}{{{x^2}}} > 0,,forall x in left[ {1;3} right]$

$ Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $left[ {1;3} right]$

Suy ra, $mathop {min }limits_{left[ {1;3} right]} y = yleft( 1 right) = 1 – {m^2}$ và $mathop {max}limits_{left[ {1;3} right]} y = yleft( 3 right) = frac{{9 – {m^2}}}{3}$.

Theo đề, $mathop {min }limits_{left[ {1;3} right]} y + 3mathop {max}limits_{left[ {1;3} right]} y = 5$$ Leftrightarrow 1 – {m^2} + 9 – {m^2} = 5 Leftrightarrow {m^2} = frac{5}{2} Rightarrow m = pm frac{{sqrt {10} }}{2}$

Vậy $m = pm sqrt 5 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6.Cho hàm số $y = frac{{ – {x^2} + 2x + {m^2}}}{{x – 2}}$. Tìm $m$ để $mathop {2min }limits_{left[ { – 2;0} right]} y + 4mathop {max}limits_{left[ { – 2;0} right]} y = – 10$.

Lời giải

Ta tìm $mathop {min }limits_{left[ { – 2;0} right]} y$ và $mathop {max}limits_{left[ { – 2;0} right]} y$.

Ta có: $y’ = frac{{{{left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} right)}^prime }left( {x – 2} right) – left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} right){{left( {x – 2} right)}^prime }}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{left( { – 2x + 2} right)left( {x – 2} right) – left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} right).1}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{left( { – 2x + 2} right)left( {x – 2} right) – left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} right).1}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{ – 2{x^2} + 4x + 2x – 4 + {x^2} – 2x – {m^2}}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{ – {x^2} + 4x – 4 – {m^2}}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} = frac{{ – left( {{x^2} – 4x + 4} right) – {m^2}}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}}$

$ = frac{{ – {{left( {x – 2} right)}^2} – {m^2}}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} < 0,,forall x in left[ { – 2;0} right]$

$ Rightarrow $Hàm số nghịch biến trên $left[ { – 2;0} right]$

Suy ra, $mathop {min }limits_{left[ { – 2;0} right]} y = yleft( 0 right) = – frac{{{m^2}}}{2}$ và $mathop {max}limits_{left[ { – 2;0} right]} y = yleft( { – 2} right) = frac{{8 – {m^2}}}{4}$.

Theo đề, $mathop {2min }limits_{left[ { – 2;0} right]} y + 4mathop {max}limits_{left[ { – 2;0} right]} y = 1$$ Leftrightarrow – {m^2} + 8 – {m^2} = – 10$$ Leftrightarrow {m^2} = 9 Rightarrow m = pm 3$

Vậy $m = pm 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.